MENTAL vs. LA MATEMÁTICA GENERALISTA DE GROTHENDIECK

“Si hay algo en matemáticas que me fascina, más que cualquier otra cosa, no es el número ni la magnitud sino la forma. Y entre las mil y una caras que elige la forma para revelarse a nosotros es la estructura oculta en los objetos matemáticos” (Alexander Grothendieck)

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La Matemática de Alexander Grothendieck
Alexander Grothendieck −genio matemático de mente privilegiada y gran capacidad de trabajo, visionario, idealista, libertario, inconformista, pacifista, ecologista, buscador de la verdad y místico− revolucionó la matemática con ideas innovadoras, unificadoras, sintetizadoras, extraordinariamente generales y abstractas.

Este enfoque profundo le permitió establecer conexiones entre álgebra, geometría, topología y teoría de números. Se puede afirmar que la matemática contemporánea emerge fundamentalmente de la obra de Grothendieck.

Grothendieck reconstruyó completa y sistemáticamente la geometría algebraica, facilitando la solución de problemas complejos de la teoría de números, entre ellos las conjeturas de Weil, la conjetura de Mordell y el último teorema de Fermat.

Su obra escrita es inmensa. Las obras “Elementos de Geometría Algebraica” (EGA), redactada en colaboración con Jean Dieudonné, y “Seminario de Geometría Algebraica” (SGA) suman alrededor de 10.000 páginas. El seminario lo impartió en el IHES (Institut des Hautes Études Scientifiques), que se convirtió en el centro mundial de la geometría algebraica.

Muchísimos conceptos originales de Grothendieck han pasado a formar parte del patrimonio común de la matemática, conservando incluso los nombres que les dio Grothendieck.


Su estrategia general

La filosofía de Grothendieck se basaba en varios principios generales, más o menos explícitos:

• Ingenuidad e inocencia.
  Para Grothendieck, la ingenuidad o inocencia era mirar las cosas con los propios ojos más que con las gafas de algún grupo humano investido de autoridad.
  
  “En nuestro conocimiento de las cosas del universo (sean matemáticas o no), el poder renovador que está en nosotros no es más que la inocencia […]. Solo ella une la humildad y la audacia que nos hace penetrar en el corazón de las cosas, y que nos permiten dejar que las cosas penetren en nosotros y nos impregnen” (Grothendieck en “Cosechas y Siembras”, 1985).
  
  
• Simplicidad y naturalidad.
  Sus conceptos son simples, naturales, casi evidentes. Grothendieck intentaba contemplar todo de la forma más simple posible, buscando su esencia fundamental. Su preocupación era definir conceptos “nítidamente naturales”. Una de sus pasiones era “nombrar” los conceptos como un medio para aprehenderlos.
  
  Sobre dos conceptos clave de Grothendieck, Topos y Esquema, decía “La idea de Topos tenía todo lo que uno podría esperar para desconcertar, principalmente a causa de su naturalidad y de su simplicidad”. “El concepto mismo de Esquema es de una sencillez infantil, es tan sencillo, tan humilde, que nadie antes que yo se atrevió a tomarlo en serio”.
  
  
• Profundidad.
  Grothendieck se sumergía en un problema buscando su esencia hasta que conseguía disolverlo o lograr que la solución emergiera de manera natural. Identificaba este enfoque como femenino o yin. Su actitud era intuitiva, pasiva, de espera, de observación global, profunda, gestáltica, de maduración. La actitud contraria es yang, masculina, activa, superficial y racional, consistente en intentar resolver un problema de manera forzada.
  
  
• Generalización.
  Grothendieck buscaba siempre las soluciones más generales posibles a los problemas para así poder establecer conexiones entre campos diferentes de la matemática. Frente a un problema específico, Grothendieck tendía a percibirlo como un caso particular de un problema más general y lo abordaba con las menores restricciones o hipótesis posibles. Normalmente, en la matemática convencional, el enfoque suele ser el contrario: se intenta demostrar algo añadiendo a la situación inicial hipótesis adicionales para intentar reducir el problema.
  
  Según Freeman Dyson, hay dos tipos de matemáticos: ranas y pájaros. Las ranas estudian los detalles del terreno. Los pájaros contemplan el paisaje desde lo alto. Grothendieck fue un pájaro que quería contemplar todo el panorama matemático. Según Grothendieck, un problema no se resuelve verdaderamente hasta que se ve desde una perspectiva general correcta, desde la cual el problema se puede resolver sin esfuerzo y en el que encaja de forma natural en un marco más amplio.
  
  Los conceptos de Grothendieck eran de tipo vertical, donde lo genérico o global se conectaban con lo específico o particular, en un proceso continuo de ascenso y descenso. Grothendieck tenía una visión unificadora y sintética de las matemáticas. Quería atrapar lo Uno en lo múltiple, la unidad esencial subyacente a la diversidad. Comparó esta visión unificadora de la matemática con la de Newton y Einstein en física, y con la de Darwin y Pasteur en biología.
  
  
• Dialéctica.
  La búsqueda de Grthendieck eran también de tipo horizontal, basadas en dialécticas o polaridades, buscando puntos de vista complementarios. Esa dialéctica se basaba esencialmente en la unión entre álgebra y geometría, es decir, la unión entre lo discreto y lo continuo.
  
  
• Relaciones.
  El método de Grothendieck consistía en, antes de enfrentarse a una teoría, desentrañar el “yoga” (según sus propias palabras) de esa teoría, es decir, las relaciones o conexiones entre los elementos de la teoría, y cual debía ser la herramienta a utilizar (normalmente era la teoría de categorías). La palabra “yoga” significa “unión”.
  
  En matemática, lo importante son las relaciones. Los objetos matemáticos se pueden definir o describir mediante sus relaciones con otros objetos matemáticos. Por ejemplo, un objeto geométrico X puede concebirse en términos de todos los morfismos que tienen como destino el objeto X. Por lo tanto, X puede ser sustituido por el funtor que asocia a cada objeto Y el objeto X.

Su estrategia matemática

La estrategia matemática de Grothendieck se basó en:

• Conceptos primarios.
  Grothendieck buscaba los conceptos primarios (o protoconceptos) de los que surgen todas las estructuras matemáticas, intentando conectar lo uno (la forma) y lo múltiple (las estructuras).
  
  
• Invariantes.
  Grothendieck buscó también invariantes. En matemática, un invariante es algo que no cambia al aplicarle un conjunto de transformaciones.
  
  El invariante topológico más conocido es la homotopía. En topología algebraica, la homotopía es la transformación de un espacio topológico en otro que los hace equivalentes. Por ejemplo, una esfera, un cilindro y un cubo son topológicamente equivalentes.
  
  Los invariantes de las formas son las cohomologías. La cohomología es un método de asignar invariantes a un espacio topológico.
  
  
• Teoría de categorías.
  Grothendieck consideraba que la teoría de categorías era el marco general más adecuado para todas las teorías matemáticas.
  
  La teoría de categorías tiene unos principios muy simples, pero sus desarrollos son demasiado abstractos y complejos. Una categoría consta de objetos y morfismos entre ellos. Es un conjunto con estructura. Un conjunto es un caso particular de categoría cuando solo hay objetos y no hay morfismos.
  
  Los morfismos constituyen lo importante de una categoría, es decir su estructura. Incluso los objetos se pueden considerar morfismos identidad (que hacen corresponder a cada objeto el mismo objeto). Hay categorías de orden superior, es decir, categorías cuyos objetos son categorías. Los morfismos entre categorías se denominan “funtores”.

La revolución de la geometría algebraica

La geometría algebraica tiene sus orígenes en el concepto de variedad algebraica. Una variedad algebraica generaliza la noción de curva (1-variedad), superficie (2-variedad), n-variedad en general. Una n-variedad (o variedad de dimensión n) necesita n parámetros (o coordenadas locales) para definir un punto sobre ella. Las variedades algebraicas se definen mediante un conjunto de ecuaciones polinómicas. Jean-Pierre Serre extendió este concepto a la noción de espacio algebraico.

En los años 1960s y 1970s, Grothendieck dio una nueva forma al análisis funcional y a la geometría algebraica. Revolucionó el análisis funcional generalizando la teoría de las distribuciones de Schwartz. En análisis matemático, una distribución es una función generalizada, que generaliza la noción de función y la de medida. El artículo de Schwartz (medalla Fields 1950) es considerado un clásico. Grothendieck hizo la tesis doctoral con Schwartz.

Posteriormente Grthendieck dejó el análisis funcional para dedicarse a la geometría. Este proceso lo describió así: “Fue como si hubiera escapado de las áridas y duras estepas y me encontrara de repente trasportado a una especie de ‘tierra prometida’ de riqueza superabundante que se multiplicaba hasta el infinito dondequiera que pusiera mi mano, ya fuera para buscar o para recolectar”. Las ideas de Grothendieck transformaron la geometría algebraica y la convirtieron en uno de los campos matemáticos más abstractos de la matemática.

En 1949, André Weil propuso cuatro conjeturas matemáticas. Estas conjeturas eran muy precisas, pero Weil solo podía demostrarlas en casos particulares, no en general. Una de las conjeturas de Weil proponía que un tipo de álgebra inventada para el estudio de las funciones continuas podría servir para encontrar el número de soluciones de una ecuación diofántica (una ecuación cuyas soluciones son números enteros).

Las conjeturas de Weil fueron para Grothendieck la principal fuente de reflexión entre 1958 y 1969. Grothendieck demostró la segunda conjetura. La cuarta conjetura (la más difícil) fue demostrada por su discípulo Pierre Deligne (ganador de la medalla Fields en 1978 y del premio Abel en 2013).

Para demostrar estas conjeturas, había que crear una nueva teoría matemática que exigía generalizar el concepto de espacio geométrico, una teoría que pudiera unificar lo discreto y lo continuo, en donde las técnicas poderosas de homología y cohomología de la topología fueran también válidas en el campo de los números enteros.

En matemática hay muchos tipos de espacios geométricos: euclidiano, proyectivo, afín, topológico, etc.; incluso espacios de infinitas dimensiones, como los utilizados en física cuántica. Todas estas concepciones de espacio tienen en común en que se basan en “puntos” y sometidos a restricciones de algún tipo.


Un nuevo concepto de espacio

En 1958, generalizando las ideas de Serre de espacio algebraico, Grothendieck propuso un nuevo concepto de espacio: un espacio sin puntos, basado exclusivamente en expresiones algebraicas y sus relaciones. Este espacio era la generalización de la noción de variedad algebraica. La estrategia generalista de Grothendieck fue “algebrizar todo” basándose en los conceptos de anillo e ideal:

• Anillo.
  Un anillo es un sistema algebraico (A, +, *) formado por un conjunto A (no vacío) y dos operaciones internas, llamadas usualmente “suma” (+) y “producto” (*), de tal manera que (A, +) es un grupo conmutativo con elemento neutro (0), y el producto es asociativo y distributivo respecto a la suma. La operación inversa de la suma es la resta (−). El producto no tiene inverso. Si el producto es conmutativo, el anillo se dice que es conmutativo. Si el producto tiene elemento neutro (1), el anillo se dice que es unitario. Un ejemplo de anillo conmutativo y unitario es el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma, resta y producto. El conjunto de todos los polinomios, que es cerrado respecto a las operaciones aritméticas de suma y producto, es un anillo conmutativo.
  
  Un elemento x de un anillo es nilpotente si existe un entero n tal que xⁿ = 0. Un cuerpo es un anillo en el que podemos dividir (excepto por cero).
  
  
• Ideal.
  Si A es un anillo conmutativo, se llama “ideal de A” a todo subgrupo aditivo I de A tal que para todo elemento x de A y para todo elemento y de I, el elemento x*y = y*x pertenece a I. Por ejemplo, para todo entero k el conjunto de los elementos k*Z de los múltiplos enteros de k es un ideal (Z es el conjunto de los números enteros).

La idea de Grothendieck consistió en asociar a cualquier tipo de anillo conmutativo una superstructura que, junto con una serie de propiedades axiomáticas lo convertirían en un “espacio”. Estos espacios sin puntos tienen cohomologías, es decir, son estructuras algebraicas que permiten clasificar los espacios topológicos.

Según Grothendieck, esta nueva geometría era la síntesis de dos mundos: el mundo aritmético (discreto) y el mundo de las magnitudes continuas (el espacio geométrico). Grothendieck propuso el nombre de “geometría aritmética”.


Los conceptos principales

Grothendieck se basó principalmente en los conceptos de Esquema, Haz, Topos y Motivo.

• Esquemas (schemes).
  Los Esquemas tienen su origen en los anillos. En los años 1960s, Oscar Zariski, estudiando las variedades algebraicas, descubrió que toda variedad daba lugar a un anillo.
  
  A toda variedad V se le puede asociar un anillo de polinomios y una relación de equivalencia entre los elementos del anillo que dan lugar a los ideales. Por ejemplo, si tenemos la variedad V definida por la ecuación x²+y²−1 = 0, podemos dividir el anillo de todos los polinomios en clases de equivalencia basadas en la propiedad de que produzca el mismo valor para todo punto de V. Por ejemplo, los polinomios 2x²+2y²+5 y 3x²+3y²2+4 = 0 producen el mismo valor (7) para todo punto de V. La diferencia entre ellos es un múltiplo de x²+y²−1 = 0, es decir, pertenecen al mismo ideal de los múltiplos de x²+y²−1 = 0.
  
  Pero había anillos que no tenían asociada ninguna variedad. Fue precisamente esta asimetría lo que motivó a Grothendieck a redefinir la geometría en términos de anillos conmutativos arbitrarios. Las estructuras resultantes se conocen como “Esquemas”. Un Esquema da lugar a un objeto geométrico determinado por la estructura de un anillo conmutativo.
  
  La noción de Esquema es una generalización de la noción de “variedad algebraica”. Esta generalización era para Grothendieck “el corazón de la nueva geometría”. Las variedades y los Esquemas son los descendientes (abstractos) de las figuras geométricas elementales como la recta o el círculo.
  
  Los Esquemas fueron una generalización que introdujo, entre otras, dos características importantes: 1) el álgebra conmutativa (como parte de la geometría algebraica); 2) la introducción de elementos nilpotentes en anillos, que juegan un papel importante en el estudio de las propiedades infinitesimales de las variedades algebraicas.
  
  Hacia 1960, Grothendieck (en colaboración con Jean Dieudonné) comenzó a publicar el monumental tratado EGA (Elementos de Geometría Algebraica) en el que propone establecer los fundamentos de la geometría algebraica dentro del marco de la teoría de Esquemas.
  
  El concepto de Esquema ha sido la clave de la profunda renovación de la geometría algebraica. Los Esquemas son hoy día los objetos principales de la geometría algebraica. Hoy día, la mayoría de los trabajos relevantes de geometría algebraica emplean, de forma más o menos explícita, el lenguaje de los Esquemas. Y muchos de los progresos recientes en teoría de números habrían sido imposibles sin la intuición geométrica aportada por la teoría de Esquemas.
  
  
• Haces (sheaves).
  Históricamente, la noción de Haz fue introducida en matemática en los años 1940s por Jean Leray para tratar algunos problemas fundamentales de la teoría de funciones. Se extendió luego a la geometría algebraica y hoy día es ampliamente utilizada en geometría algebraica y análisis algebraico. Leray concibió los Haces investigando mientras estaba prisionero de los alemanes durante la segunda guerra mundial. El mismo concepto lo introdujo Kiyoshi Oka al estudiar las funciones analíticas de variables complejas. El concepto de Haz se convirtió rápidamente en una de las principales herramientas de la geometría algebraica. Estudiar un espacio era estudiar los Haces de ese espacio.
  
  La definición moderna de Haz se debe a Élie Cartan (en 1952). Posteriormente, en 1953, la escuela francesa de geometría algebraica de la postguerra liderada por Jean-Pierre Serre introdujo los Haces dentro de la geometría algebraica. La idea de Haces sobre espacios topológicos aparece por primera vez en el trabajo de Hermann Weyl (1913) sobre superficies de Riemann. (Una superficie de Riemann es una variedad compleja de una variable compleja.)
  
  La idea tras la noción de Haz es simple y surgió del estudio de las funciones definidas sobre los mismos conjuntos: todas las funciones son manifestaciones de una función de orden superior.
  
  Un ejemplo simple de Haz es el conjunto de todas las rectas tangentes a todos los puntos de una circunferencia dada de radio R. Otro ejemplo es el del conjunto de todos los planos tangentes a una superficie en el espacio 3D. En general, podemos asignar a cada punto de una variedad una cierta estructura algebraica. Esta fue precisamente la idea de Grothendieck: generalizar el concepto de Haz como el conjunto de los objetos algebraicos asociado a cada uno de los puntos de una variedad.
  
  Los Haces se pueden considerar conjuntos o estructuras genéricas, aunque Lawvere consideraba que los Haces son estructuras variables. Un Haz es una estructura extendida sobre un espacio base, que es la variedad.
  
  Los Haces son entidades matemáticas que unen álgebra y geometría: lo real y lo imaginario, lo interior y lo exterior, la esencia y la existencia, lo analítico y lo sintético, lo local y lo global, lo discreto y lo continuo.
  
  
• Teoría de Topos.
  El término “Topos” es singular (el plural es “Topoi” o “Toposes”). Un Topos es una categoría. Los objetos de la categoría son Haces y los morfismos son relaciones entre Haces. La noción de Topos es una redefinición o generalización de la noción de espacio topológico tradicional. Para Grothendieck, el concepto de Topos es la máxima generalización del concepto de espacio. Es un concepto más general que el de Esquema. Un Topos es la envoltura o la morada de un Esquema. A todo Esquema se le asocia un Topos.
  
  Grothendieck, al generalizar la noción de Haz, mostró que era posible contemplar la categoría de los conjuntos clásicos desde la categoría de todos los Haces (la categoría de Topos). En 1960, Grothendieck introdujo la categoría de “Haces generalizados”, la categoría llamada “Topos de Grothendieck”. Las propiedades esenciales de los Topos de Grothendieck dieron lugar a la noción general de “Topos elemental” de William Lawvere y Myles Tierney, que es más general y abstracto que el Topos de Grothendieck y es lo que hoy día se llama simplemente “Topos”.
  
  Para Grothendieck, un espacio X se describe mediante el Topos T(X) de Haces sobre X. Los toposes contienen todas las estructuras posibles de Haces.
  
  En un espacio topológico lo que cuenta verdaderamente no son sus “puntos” (o los subconjuntos de puntos) y las relaciones de proximidad entre ellos, sino los Haces sobre ese espacio y la categoría que forman.
  
  El concepto de Topos une los espacios topológicos tradicionales (continuos) con los “espacios” o “variedades” (discretas) de la geometría algebraica.
  
  La teoría de Topos abrió las puertas a una fundamentación de la matemática sobre conceptos diferentes a la convencional (la basada en la teoría de conjuntos). Ademas, la teoría de Topos tiene muchas aplicaciones en física cuántica, inteligencia artificial, informática, etc.
  
  
• Motivos (motives).
  Grothendieck introdujo la noción de Motivo (en francés “Motif”, patrón) en una carta a Serre en 1964. Afirmaba que, entre los objetos que había tenido el privilegio de descubrir, eran los más cargados de misterio y que quizás eran la herramienta más poderosa para el descubrimiento.
  
  Los Motivos fueron introducidos por Grothendieck cuando creyó que era posible definir una teoría de cohomología universal, es decir, que contemplara la esencia de todas las posibles teorías de cohomología que pudiera haber sobre la categoría de variedades algebraicas. Grothendieck conjeturó que los Motivos proveían tal teoría universal en una serie de problemas que llamó “conjeturas estándar”, que siguen sin ser demostradas. Se trata de un intento de encontrar una manera universal de combinar linealmente variedades geométricas simples para crear progresivamente variedades más complejas.
  
  Los Motivos son elementos intermedios entre las variedades algebraicas y sus invariantes lineales (cohomología).
  
  Cada variedad algebraica X tiene asociado un Motivo [X]. La idea es que un Motivo tiene la misma estructura que toda cohomología. Si se obtiene el Motivo de una variedad, se tiene toda la información sobre todas las teorías de cohomologías.
  
  En geometría algebraica, un Motivo denota una parte esencial de una variedad algebraica. Un Motivo es una estructura asociada a la forma como invariante. Un Motivo puede tener diferentes manifestaciones (estructuras). La relación es “Forma → Motivo → Estructura”.
  
  Según Grothendieck, los Motivos son “el corazón del corazón de la nueva geometría”, la teoría más profunda y su mayor aportación a la matemática. Grothendieck hablaba del “yoga motívico” por su importancia y profundidad. El sueño de Grothendieck era que la teoría de Motivos unificara toda la matemática, en especial, la unificación de la teoría de Galois y la topología.
  
  Grothendieck no llegó a publicar nada sobre Motivos, pero los mencionaba frecuentemente en sus cartas a Serre. Actualmente solo hay un libro sobre Motivos, que es el de Yves André [2004].
  
  Se reconoce que la teoría de Motivos es ambigua. Incluso hay diferentes versiones de ellas. Muchos matemáticos han tratado de precisarla sin resultado. Actualmente solo tenemos pequeños fragmentos un tanto difusos de esta teoría.

MENTAL vs. La Matemática de Grothendieck

• Unificación.
  Grothendieck profundizó en la matemática, buscando conceptos primarios, generales o universales para tender puentes entre los diversos campos matemáticos, pero no llegó a encontrar los arquetipos primarios, los “conceptos límite” que unen lo profundo con lo superficial para poder unificar la matemática.
  
  Grothendieck se centró principalmente en la geometría algebraica y en la teoría de categorías. Afirmaba que toda la matemática debería fundamentarse en la teoría de Topos.
  
  MENTAL está basado en primitivas de supremo poder de abstracción y generalidad. Todas las estructuras matemáticas son manifestaciones de los arquetipos primarios. MENTAL es el lenguaje universal y el fundamento de la matemática y de las ciencias formales en general.
  
  
• Filosofía.
  Grothendieck no contempló temas filosóficos. Se centró exclusivamente en la matemática “pura”. MENTAL emerge de categorías filosóficas.
  
  
• Relaciones.
  Grothendieck enfatizó el tema de las relaciones, el “yoga”. En MENTAL, la semántica radica en las relaciones y el verdadero “yoga” reside en los arquetipos primarios, el centro desde el que se contempla la unidad de todas las cosas y desde donde emergen todas las expresiones matemáticas. Además, las relaciones que vislumbró Grothendieck eran estáticas. En MENTAL son dinámicas.
  
  
• Espacio-tiempo.
  Para Grothendieck, el espacio está basado exclusivamente en expresiones algebraicas y sus relaciones.
  
  En MENTAL el espacio abstracto surge de manera natural de las relaciones entre expresiones. El tiempo abstracto surge de la evaluación de las expresiones. El espacio abstracto no es un concepto primario, sino derivado. En este espacio no hay puntos, solo expresiones dinámicas relacionadas. No es un espacio absoluto.
  
  El verdadero espacio, el espacio`profundo, genérico y universal, es el espacio abstracto donde “viven” las expresiones, donde interactúan dinámicamente. En MENTAL se diluye verdaderamente la distinción entre álgebra y geometría. Los diferentes tipos de espacios son casos particulares de este espacio universal.
  
  
• Teoría de categorías.
  Grothendieck contribuyó decisivamente a la teoría de categorías, la teoría más abstracta y genérica de la matemática, principalmente con su teoría de Topos.
  
  El problema principal de las categorías es que no tienen una semántica definida, pues un morfismo es un concepto ambiguo que se pueden interpretar de muchas maneras (función, transformación, conexión, implicación, etc.) [ver Comparaciones – MENTAL vs. Teoría de Categorías.]
  
  Dada la estrecha relación que existe entre abstracción y simplicidad, la frase de Einstein “Todo debería hacerse del modo más simple posible, pero no más simple” podemos convertirla en “Todo debería hacerse del modo más abstracto posible, pero no más abstracto”. La teoría de categorías es “demasiado abstracta”. Paradójicamente lo demasiado abstracto y lo demasiado simple conduce a lo extremadamente complejo porque se pierde (o se debilita) lo más importante, la base de todo: la semántica.
  
  Las verdaderas categorías son los arquetipos primarios de MENTAL, las dimensiones de la realidad, que establecen relaciones perfectamente definidas.
  
  
• Unión de opuestos.
  Grothendieck intentó unir varios opuestos, basándose en la unión entre álgebra y geometría: cualitativo-cuantitativo, continuo-discreto, etc. MENTAL es la unión integral de opuestos.
  
  
• Ingenuidad e inocencia.
  Grothendieck utilizó como filosofía el principio de inocencia o ingenuidad. MENTAL es un lenguaje esencialmente ingenuo.
  
  
• Simplicidad.
  Grothendieck buscó la simplicidad, pero (paradójicamente) se basó en la teoría de categorías y en su teoría de Topos, una teoría que es compleja, difícil de entender. MENTAL es la simplicidad suprema. La clave de la generalidad y la universalidad reside en la simplicidad.
  
  
• Conciencia.
  Cuando Grothendieck cambió el estudio del análisis funcional por la geometría, lo que hizo fue cambiar básicamente de modo de conciencia: del modo analítico al sintético, de lo local a lo global. Pero Grothendieck se dio cuenta que había que unir álgebra y geometría, unir los dos modos de conciencia.
  
  MENTAL es el lenguaje de la conciencia por dos motivos: 1) por estar basado en arquetipos primarios, los arquetipos de la conciencia; 2) por ser la unión integral de opuestos. MENTAL es la conciencia, libertad, la simplicidad y la creatividad, la verdadera “tierra prometida” de la que hablaba Grothendieck.
  
  
• Topos.
  Grothendieck pretendía fundamentar la matemática mediante la abstrusa teoría de Topos. Pero el fundamento tiene que ser necesariamente simple. Además, el concepto de Topos no es primario, pues combina diferentes conceptos. La teoría de Topos elemental de Lawvere es aún más abstracta, y también tiene los mismos problemas. La teoría de Topos impone un modelo fijo, restringiendo la libertad de creación de entidades matemáticas.
  
  MENTAL es la fundamentación de la matemática. Toda la matemática (y no solo la matemática) se construye a partir de los arquetipos primarios, que son grados de libertad.
  
  
• Haces.
  Los Haces unen álgebra y geometría. Pero el concepto de Haz es retringido, no es suficientemente general, pues no existen Haces de orden superior (Haces de Haces). En MENTAL, un Haz es una expresión genérica parametrizada que representa a varios objetos matemáticos que tienen un patrón común, y se pueden definir expresiones genéricas parametrizadas de orden superior para representar Haces de orden superior.
  
  
• Motivos.
  Los Motivos son conjeturas. Los arquetipos primarios de MENTAL constituyen una tesis universal. ¿Son los Motivos las “causas” o conceptos primarios que buscaba Grothendieck como fundamento de todo el universo matemático? Hay varios indicios que refuerzan esta hipótesis:
  
  
  1. Los arquetipos son “formas sin contenido” (según la concepción de Jung) y los Motivos, según Grothendieck, son intermediarios entre las formas (geométricas) y las estructuras (algebraicas).
     
     
  2. El término francés “Motif” significa “patrón”.
     
     
  3. Según Claire Voisin (antigua directora de Jussien (en la Universidad de Paris VI) la teoría de Motivos es el “Santo Grial” de la matemática.
     
     
  4. Según Grothendieck, el concepto de Motivo está “en el corazón del corazón” de la matemática, la fuente común de toda la matemática.
  
  
• Algebrización.
  Grothendieck “algebrizó” todo. En MENTAL todos son expresiones algebraicas, pero va más allá del álgebra abstracta, pues contempla el álgebra imaginaria basada en expresiones imaginarias, que son de la forma (x = y), en donde x e y pueden ser expresiones cualesquiera. Y contempla todo tipo de relaciones entre expresiones.
  
  
• Lenguaje.
  Grothendieck no llegó a definir un nuevo lenguaje para la matemática. MENTAL es un lenguaje formal universal operativo y descriptivo aplicable al mundo matemático.
  
  
• Práctica.
  Grothendieck construyó todo un edificio teórico; no se interesó demasiado en el aspecto práctico. MENTAL une teoría y práctica, que son aspectos de la misma cosa.
  
  
• Lógica.
  Según la teoría de categorías, la lógica tiene un carácter categorial (precisamente por el carácter ambiguo de morfismo que puede interpretarse como implicación). Grothendieck nunca llegó a ocuparse explícitamente de temas lógicos. En MENTAL, la lógica es una de las dimensiones de la realidad basada en la primitiva “Condición”, apoyada por el resto de las primitivas.
  
  
• Geometría algebraica vs. Álgebra geométrica.
  La geometría algebraica combina el álgebra abstracta con la geometría analítica. Se puede considerar como el análisis de los sistemas de ecuaciones y sus soluciones, junto con su interpretación geométrica.
  
  En cambio, el álgebra geométrica (o álgebra de Clifford) es un álgebra basada en el producto geométrico, una generalización del producto escalar y del producto vectorial operando sobre multivectores. Un multivector es la generalización n-dimensional del concepto de vector.
  
  MENTAL, como lenguaje formal universal, contempla la geometría algebraica y el álgebra geométrica, y ambos campos pueden combinarse para crear nuevas entidades matemáticas.

Un ejemplo de Haz

Un ejemplo simple de Haz es el de las tangentes a una circunferencia de radio r. Suponemos que el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas. La ecuación de la circunferencia es x² + y² = r². Un vector unitario entre el centro (0, 0) y de ángulo φ es u = (cos φ, sen φ), que corta a la circunferencia en el punto (x, y) = (r•cos φ, r•sen φ). Un vector tangente en el punto (x, y) es v = (−sen φ, cos φ). La ecuación de la tangente en el punto (x, y) −puntos (x', y')− es

x' = r•cos φ – s•sen φ
y' = r•sen φ + s•cos φ

Por lo tanto, el Haz constituido por todas las tangentes de unaa circunferencia de radio r viene definido mediante tres párametros: r, φ y s:

⟨( Haz(r φ s) = {(r*cos(φ) – s*sen(φ)) (r*sen(φ) – s*cos(φ)) } )⟩

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Adenda
Una pequeña biografía de Grothendieck

Grothendieck nació el 28 de Marzo de 1928, en Berlín (Estado Libre de Prusia), hijo único de un activista judío (Alexandre Shapiro) y de una periodista (Hanka Grothendieck). Sus padres participaron en la guerra civil española.

Entre los años 1934 y 1939, Grothendieck vivió en Hamburgo con una familia adoptiva, mientras sus padres estaban en Francia. En 1939, se reunió con su madre en Francia.

Sus estudios en matemáticas comienzan en la Universidad de Montpellier (entre 1945 y 1948). Tras un corto periodo en París, en 1950 fue a la ciudad de Nancy para hacer el doctorado con Laurent Schwarz en análisis funcional. En ese momento comienza a despuntar. Le propusieron 14 posibles cuestiones entre las que trabajar. Las resolvió todas. El problema que escogió para la defensa de la tesis en 1953, lo abordó con un enfoque novedoso y general, aplicable a amplios campos de las matemáticas.

Al terminar su tesis cambió de dominio y se pasó a la geometría. En 1956, a su regreso a París, propuso un enfoque totalmente nuevo de la geometría algebraica. En algún momento formó parte del grupo de matemáticos reunidos bajo el nombre de Nicolas Bourbaki.

Su primer empleo permanente fue en el IHES, un instituto privado de investigación fundado en 1958 en París. Allí inició, con ayuda de lo mejor de la comunidad internacional, los “Seminarios de Geometría Algebraica” (SGA), del que se publicaron 7 volúmenes; y la redacción de sus “Elementos de Geometría Algebraica” (EGA), del que publicó 4 de los 12 libros proyectados. Estos escritos supusieron una revolución de la geometría, principalmente por su profundización en el concepto básico de espacio.

En 1966, el Congreso Internacional de Matemáticos reunido en Moscú, decidio concederle la medalla Fields (se concede cada 4 años), el galardón matemático más importante, por sus contribuciones al álgebra homológica y a la geometría algebraica. Grothendieck se negó a asistir a la ceremonia de entrega y recoger el premio por la política represora del régimen soviético.

En 1970, con 42 años, en la cumbre de su fama internacional y de su capacidad creativa, Grothendieck abandonó el IEHS por sus convicciones pacifistas, al enterarse de que el 5 % del presupuesto procedía del Ministerio de Defensa francés.

En 1970 fundó, junto con dos colegas, la organización pacifista-ecologista “Survivre et Vivre” (Sobrevivir y Vivir), para la defensa del medio ambiente, y se retiró a un pequeño poblado en las afueras de Montpellier.

En 1972, adquirió la nacionalidad francesa (hasta entonces era apátrida) para acceder a una plaza de profesor en la Universidad de Montpellier. Trabajo en esta universidad hasta el día de su jubilación oficial en 1988. En este periodo continuó sus investigaciones matemáticas pero fuera de los estándares oficiales: sin publicar nada y con pocos contactos con otros colegas. Parece ser que su dedicación exclusiva a la investigación matemática, y su ritmo febril de trabajo, le provocó (según sus propias palabras) “un largo periodo de estancamiento espiritual”.

Entre 1983 y 1988 escribió miles de páginas con meditaciones no matemáticas, que distribuía entre sus allegados y colegas más cercanos. En Récoltes et Semailles (Cosechas y Siembras), una obra de más de mil páginas, combina reflexiones personales y matemáticas. En La Clef des Songes (La clave de los Sueños) relata su descubrimiento de Dios.

En 1988, Suecia le concedió el premio Crafoord, de la Real Academia Sueca de Ciencias, compartido con su discípulo Pierre Deligne. El reconocimiento iba acompañado de una cuantiosa suma de dinero, que rechazó ya que “dado el declive en la ética científica, participar en el juego de los premios significa aprobar un espíritu en la comunidad científica que me parece insano” y porque “mi pensión es más que suficiente para mis necesidades materiales y las de los que de mi dependen”.

En 1990 desapareció y cortó todo contacto con familia y amigos. Se retiró definitivamente a vivir en un pequeño pueblo de los Pirineos franceses. Su paradero, por expreso deseo suyo, permaneció desconocido para la comunidad matemática y el público en general. Alli continuó sin publicar nada y relacionándose con sus convecinos. En la última década decidió dar un paso más y restringió todo contacto con el exterior, viviendo sus últimos años como un ermitaño, dedicado a la meditación y a la búsqueda de la verdad, ajeno al impacto que, a día de hoy, siguen teniendo sus ideas.

Grothendieck falleció el 13 de Noviembre de 2014, a los 86 años de edad en el hospital Arège Conserans, de Saint-Girons.

Grothendieck dio orden de quemar todos sus escritos. Él mismo quemó numerosos documentos. En el primer piso de un edificio en el centro de Montpellier se encuentran actualmente cinco cajas con 20.000 páginas de notas escritas entre 1970 y 1991. A pesar de la orden de destrucción, el responsable del patrimonio de la universidad consiguió salvarlos. En Paris existe un Círculo Grothendieck, que reúne, traduce y publica sus escritos.


Valoración de su figura

Grothendieck es, para muchos, el matemático más grande del siglo XX. Su trabajo en geometría algebraica abrió nuevos horizontes, algunos de cuales están pendientes de ser explorados. “Las ideas de Alexander Grothendieck, por así decirlo, han penetrado el inconsciente de los matemáticos”, llegó a afirmar su alumno más brillante, Pierre Deligne.

La estatura matemática de Grothendieck es comparable con la de Gauss, Riemann o Galois. Se le ha denominado “el Einstein de las matemáticas” por su filosofía generalista. También se le ha denominado “el Freud de las matemáticas” por haberse internado en las profundidades de la matemática.

El propio Grothendieck se identificó con Einstein, al establecer dos paralelismos:

• Por la transformación de nuestra concepción de espacio.
  Einstein revolucionó el concepto de espacio. El espacio no es una entidad pre-existente (como afirmaba Newton), sino que el espacio emerge de las propiedades relacionales entre sus elementos.
  
  Grothendieck revolucionó el concepto más fundamental de la geometría: el espacio. El espacio no está constituido por sus puntos, sino por las relaciones entre expresiones algebraicas. Esta concepción de espacio es más rica que el espacio euclidiano tradicional; tiene más posibilidades.
  
  
• Por su visión unificadora.
  Einstein unificó espacio y tiempo, así como masa y energía.
  
  Grothendieck revolucionó la matemática, al conectar de manera profunda álgebra y geometría.

Grothendieck se sintió hermanado con Galois, por haber dado ambos las claves para que el álgebra discurriera por nuevos caminos, por saber ver lo general en lo particular. En el caso de Galois, las condiciones de resolución de ecuaciones dieron origen a la teoría de grupos. En el caso de Grothendieck, la generalización estructural del concepto de espacio.

Gromthendieck, siguiendo la senda de Descartes, Pascal o Leibniz, ha contribuido a introducir la matemática como una vía hacia la trascendencia.


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